-A +A

Natuurlijke deductie

Printervriendelijke versiePrintervriendelijke versieVerstuur naar een vriendVerstuur naar een vriend

Natuurlijke deductie is een methode om via deductie met noodzakelijkheid de geldigheid van een redenering conform vastgestelde regels te bewijzen in de logica. Het model zou gebaseerd zijn op een "natuurlijke" vorm van redeneren. Systemen van natuurlijke deductie zijn ontwikkeld voor verschillende vormen van logica, waaronder de propositielogica en de predicaatlogica.

Regels
Een bewijsvoering in de logica gaat uit van premissen. Op die premissen worden logische regels toegepast, waardoor nieuwe feiten worden afgeleid. Zo komt men stap voor stap tot het gewenste resultaat. Een kenmerk van natuurlijke deductie is dat tijdens de bewijsvoering nieuwe aannames worden gedaan en weer ingetrokken. Hierdoor ontstaan deelbewijzen. De regels van natuurlijke deductie kunnen worden ingedeeld in introductieregels, regels die een bepaalde logische operator introduceren, en eliminatieregels, regels die een logische operator gebruiken.
De gebruikte logische regels worden aangegeven door een horizontale streep. Boven de streep staan de precondities voor het toepassen van de regel en onder de streep de conclusies. Links van de streep wordt de naam van de regel geplaatst.
Propositielogica
De logische regels voor de propositielogica zijn de volgende:
Conjunctie-introductie:
Als de uitspraken P en Q gelden, dan ook de uitspraak "P en Q".
Conjunctie-eliminatie:
Als de uitspraak "P en Q" geldt, dan ook de uitspraken P en Q.
Disjunctie-introductie:
Als de uitspraak P geldt of de uitspraak Q, dan ook de uitspraak "Pof Q".
Disjunctie-eliminatie:
Als de uitspraak "P of Q" geldt, en met extra aanname P kan R afgeleid worden, en met extra aanname Q kan ook R afgeleid worden, dan geldt R.
Implicatie-introductie:
Als met aanname P de uitspraak Qafgeleid kan worden, dan geldt de uitspraak "als P dan Q".
Implicatie-eliminatie (modus ponens):
Als P geldt en "als P dan Q", dan geldt ook Q.
Negatie-introductie:
Als uit de aanname dat P geldt een tegenspraak kan worden afgeleid, dan geldt "niet P".
Negatie-eliminatie:
Uit "niet niet P" volgt P.
Sommige systemen van natuurlijke deductie bevatten in plaats van de negatie-eliminatieregel de reductio ad absurdum-regel
die zegt, dat, als uit de aanname dat "niet P" een tegenspraak volgt, P afgeleid kan worden. Uit negatie-eliminatie en de andere regels volgt de reductio ad absurdum-regel als afgeleide regel, en andersom. Dat betekent dat met beide varianten dezelfde uitspraken kunnen worden afgeleid. Zowel de negatie-eliminatieregel als de reductio ad absurdum-regel worden in de intuïtionistischelogica niet geaccepteerd.
Voorbeeld[bewerken]
Laat p een propositievariabele zijn. Hieronder wordt met behulp van natuurlijke deductie bewezen dat de wet van de uitgesloten derde, p ∨ ¬p, geldt.
Stap Aannames Uitspraak Rechtvaardiging
1 1 ¬(p ∨ ¬p) Aanname
2 2 p Aanname
3 2 p ∨ ¬p ∨I,2
4 1,2 (p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p) ∧I,1,3
5 1 ¬p ¬I,4,[2]
6 1 p ∨ ¬p ∨I,5
7 1 (p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p) ∧I,1,6
8   ¬¬(p ∨ ¬p) ¬I,7,[1]
9   p ∨ ¬p ¬E,8
Predicaatlogica
Voor predicaatlogica gelden behalve de bovengenoemde regels, ook de volgende regels. Hieronder staat P[x\a] voor de formule P waarin alle (vrije) voorkomens van x door a vervangen worden.
Introductie van universele kwantor (universele generalisatie):
 waarbij a niet in de openstaande aannames voorkomt
Als P(a) geldt, waarbij we niks over het object a hebben aangenomen, dan geldt "voor alle objecten xP(x)".
Eliminatie van universele kwantor (universele instantiatie):
Als P voor alle objecten geldt, dan geldt het ook voor het object a.
Introductie van existentiële kwantor (existentiële generalisatie):
Als P voor het object a geldt, dat geldt ook "Er is een object x waarvoor geldt dat P(x).
Eliminatie van existentiële kwantor:
 waarbij aniet in de openstaande aannames of in Qvoorkomt
Als "er is een x zodat P(x)" geldt, en uit de aanname dat P(a) (waarbij niks over a wordt aangenomen) volgt Q, dan geldt Q.
Voor predicaatlogica met gelijkheid, kunnen bovendien de volgende regels gebruikt worden:
Gelijkheidsintroductie:
Alles is gelijk aan zichzelf.
Gelijkheidseliminatie:
Als predicaat P geldt voor object a, ena is gelijk aan b, dan geldt P ook voorb.
Bronnen, noten en/of referenties
  • Jon Barwise, John Etchemendy, The Language of First-Order Logic. University of Chicago Press, 1993.
  • Prof. dr. W.R. de Jong, Basisboek Logica, Argumentatie en formele structuur. Amsterdam: Boom, 2005. ISBN 9789085060673
  • L.T.F. GamutLogic, Language and Meaning. Utrecht: Het Spectrum, 1991
  • Wikipedia

 

Nuttige tips: 

Een premisse is een aanname dat iets waar is. Premissen zijn de basisaannamen van een syllogisme, zoals een redenering in de logica wordt genoemd. Een syllogisme is doorgaans opgebouwd uit een majorpremisse, een minorpremisse en een conclusie

Gerelateerd
0
Uw beoordeling Geen
Aangemaakt op: zo, 21/08/2016 - 16:43
Laatst aangepast op: zo, 21/08/2016 - 16:43

Hebt u nog een vraag?

Hebt u nog een vraag in dit verband, klik dan hier om uw vraag aan ons te stellen, of meteen een afspraak te maken voor een consultatie.

Aanvulling

Heeft u een suggestie, aanvulling of voorstel tot correctie met betrekking tot deze pagina? Gebruik dit adres om het te melden.